Colloque relations-objets : Badiou, Wittgenstein et les structures

Tout ce genre de thèses (cf article précédent) provient de « L’être et l’événement 1 » écrit il y a une vingtaine d’années, et partant de l’identité entre ontologie et théorie des ensembles. Mais il s’agit de la théorie axiomatisée par Zermelo-Fraenkel plus l’axiome du choix (dite théorie ZFC), pourquoi celle là et pas une autre (comme les ensembles non standard, ou la théorie de Quine)?

Parce qu’elle sort directement, ou au plus près, des travaux de Cantor, et Cantor est une « belle pièce » propre à fasciner Badiou ainsi que tout le monde d’ailleurs: esprit profondément religieux, il finit sa vie « mal », en clinique psychiatrique (plus ou moins) parce qu’il se reprochait d’avoir « tué Dieu » en « disséminant » l’infini en une infinité de cardinaux infinis (l’échelle vertigineuse sinon sainte des Aleph de Cantor, à partir de Alephzéro le premier cardinal infini, l’infini dénombrable, celui des entiers « naturels » N, suivi de celui des réels R, etc..)

Or ceci est pain bénit pour Badiou, qui endosse cette thèse sans autre forme de procès pour démontrer enfin rigoureusement l’athéisme : l’Infini (depuis toujours nom de Dieu) est disséminé en un infinité d’infinis, il n’y a que du multiple pur, l’Un n’est pas, il « existe » seulement l’en une localisation errante : « il y a de l’un » à l’occasion du compte-pour-un ensembliste, qui est tout autant le compte-pour-un faisant tenir ensemble les objets et les flèches d’une catégorie, tenir ensemble en-un, en-une-catégorie.

Dans l’Etre et l’événement 2, sorti une dizaine d’années après l’Etre et l’événement 1 sous le titre « Logique des mondes », les topoi , et donc les catégories, font leur apparition sous la forme des Omega-sets (ou Omega-ensembles), Omega étant une algèbre de Heyting appelée par Badiou un transcendantal, contenant les valeurs mesurant le degré d’existence en un monde, et les topoi étant les faisceaux dont les objets sont les foncteurs de Omega vers la catégorie ENS des ensembles : c’est un topos comme il est bien connu. L’objet Omega généralise l’objet {0,1} des valeurs de vérité dans le cas « classique » (vrai ou faux) et comme la notion d’algèbre de Heyting généralise celle d’algèbre de Boole on a dans la plupart des topoi une logique « intuitionniste », pas forcément booléenne, la négation de la négation n’est pas forcément l’affirmation (ce qui veut dire que le tiers exclus n’est plus forcément vérifié).

Ainsi se poursuit le partage badiolien (ou Badiousien) entre l’ontologie comme théorie des ensembles et l’Etre pur, et les « mondes possibles », chacun correspondant à un topos dont la logique (intuitionniste) est celle de l’apparaître-en-ce-monde.

Une dérive du vocabulaire de Badiou est la suivante : quand il parle de l’accent mis sur les relation par la théorie des catégories (qui est propre à la science,as aux catégories seulement) il devrait employer le mot « relationnisme »; or je n’ai pas enregistré l’exposé, je ne me souviens plus s’il a commencé à employer ce mot, mais il est vite passé au mot « relativisme » qui est tout autrement connoté: « relativisme » renvoie à la diversité souhaitée des opinions, mais on parle de relativisme culturel qui place toutes les « cultures » sur un pied d’égalité voire d’équivalence , et il y a aussi le relativisme moral, qui coïncide souvent avec la fin de tout idéal moral.

Badiou cite le livre de J L Bell comme un exemple de ce « relativisme »:

« Toposes and local set theories: an introduction » (les hellénistes disent plutôt « topoi »)

que je n’ai pas trouvé sur le web, sauf sous une version plus courte:

Notes on toposes and local set theories

Il faudrait qu’il précise sur des exemples clairs en quoi Bell serait « relativiste », j’en suis donc réduit à des conjectures, mais prenons par exemple l’endroit à la fin où Bell cite l’exemple de ce qu’on appelle un « group object » dans une catégorie variable : dans la catégorie ENS c’est simplement un groupe, dans la catégorie MAN des variétés différentiables ( MAN est l’abréviation de Manifold= variété) c’est un groupe de Lie, ce sera un faisceau de groupes dans une catégorie de faisceaux, etc… : mais c’est là à mon sens une supériorité de la théorie des catégories, qui permet souvent un surcroît d’intelligibilité en permettant de relier des notions très differentes, ce qui n’est pas le cas ici puisqu’on voit facilement, sans les catégories, que la notion de groupe de Lie est liée à celle de groupe.

Même si la logique d’un topos est intuitionniste, plus forcément classique, même si une notion de structure change quand on la transporte d’une catégorie à une autre, il n’y a ici aucune équivocité, aucun relativisme.

Bell cite Wittgenstein, non dans le livre , mais dans les « Notes on toposes » , le document pdf  dont le lien est ci dessus, je ne la recopie pas, c’est en page 2 (en anglais).

De même N P Landsman cite aussi Wittgenstein en tête de son remarquable ‘Mathematical topics between classical and quantum mechanics », là encore je ne la recopie pas, car c’est en page 3 (en anglais toujours) du document pdf suivant de 4 pages :

http://sophia.dtp.fmph.uniba.sk/~bona/Landsman%20acknowledgement.pdf

Cette seconde citation, dont la fin est ici :

http://www.goodreads.com/quotes/543482-i-am-not-interested-in-constructing-a-building-so-much

est extraite des « Remarques mêlées », comme aussi la première (celle de Bell).

Or l’opposition que trace ici Wittgenstein n’ est pas du tout semblable à celle de Badiou entre univocité et équivocité ; elle est entre un « esprit », celui de l’Occident moderne, qui essaye de saisir le monde « dans sa périphérie en construisant des structures de plus en plus complexes (celles des mathématiques, explicitées par la théorie des catégories qui sont appelées aussi « espèces de structures »), et un second « esprit », méditatif, celui qui privilégie Wittgenstein, qui tente de saisir le monde « en son centre », « en son essence ».

Le premier esprit s’agite, « ajoutant une construction à une autre », passant d’une forme à une autre, le second « reste tranquille où il est et ce qu’il tente de saisir est toujours la même chose ».

En se reportant à la seconde citation, celle de N P Landsman, on voit que le premier esprit, que nous pourrions dire « scientifique moderne » tente de construire de plus en plus de « buildings »; le second esprit, celui de Wittgenstein, s’occupe plutôt de la fondation de ces buildings.

On voit ci un réseau complexe de différences et de similitudes avec les propos de Badiou : le second « esprit » de Wittgenstein, celui qui reste fixé sur un objet unique, est d’une certaine manière proche de celui de l’ontologie et de l’univocité de Badiou, sauf que pour Badiou cet esprit est celui de la mathématique (des ensembles) et de la science qui « tente d’extorquer au monde et à son équivocité un noyau d’univocité ».

Par contre Wittgenstein rejette en bloc la science, les structures mathématiques et l’Occident, caractérisés selon lui par le premier esprit qu’il méprise.

Or Badiou parle souvent de Wittgenstein mais pour s’opposer à lui, tout au moins au second Wittgenstein, celui des « jeux de langages », du relativisme anglo-saxon donc. Et il en a parlé encore dans son exposé pour signaler que le second Wittgenstein « n’aimait pas beaucoup les mathématiques » et que la seule solution pour contrer ce relativisme wittgensteinien et la « désorientation » qu’il induit est d’accepter sa thèse à lui Badiou : la mathématique est l’ontologie, elle n’est pas un jeu de langage comme les autres, et c’est la seule façon d’expliquer la possibilité de la science : « la Nature est un livre écrit en langage mathématique » (Galilée) ou « n’accepte de se laisser interroger et de répondre que par l’intermédiaire des mathématiques » (Brunschvicg)

J’ai déjà dit ce que j’en pense, et il est évident que si je me réclame du spiritualisme brunschvicgien je ne puis adhérer à la dialectique matérialiste de Badiou, ni non plus à l’esprit « oriental » et souvent mélangé d’allusions mystiques de Wittgenstein.

Mais il me semble que les problèmes et apories sont explicités, reste à les résoudre et à sauver, sinon le monde, en tout cas les intellectuels qui surnagent au naufrage en haute mer du bateau de Neurath qui symbolise la « civilisation moderne », celle que méprise Wittgenstein.

Cela dit, « se réclamer de Brunschvicg » cela tient à une strate fondationnelle qui est méthodologique, comme chez Descartes:

– « ce qui est vrai, c’est ce qui est vérifié » (donc vérifiable, donc réfutable) : la tragédie du maître dans « L’obscurité » c’est qu’il s’était « payé de mots », et Alain Tête termine son livre « Contre Dieu » par:

« Croire en Dieu c’est croire aux mots »

Vérifier, cela signifie : ne plus croire aux mots sur leur belle mine

– « remplacer les thèmes d’imitation par les versions originales »

Remâcher, ingérer, digérer, assimiler etc…ne pas répéter les formules toutes faites, et élargir : par exemple Brunschvicg mort en 1944 n’a pas pu connaître la théorie des catégories née en 1945, « Les étapes de la philosophie mathématique » doit donc être poursuivi et complété.

Sortir définitivement de l’obscurité, de l’état de tutelle où est placée l’humanité par sa propre faute ( pas par une Idole « qui guide et égaré qui Il veut ») c’est vérifier sans cesse.

Et pouvoir dire (version originale) à tout moment : « c’est moi qui pense et dis cela et voici pourquoi »…

et faire ce qu’on dit bien entendu….

Colloque relations-objets : théorie des catégories et théorie des ensembles

Je voudrais compléter mon résumé (vraiment résumé !) de l’exposé de Badiou le 18 juin en abordant certains aspects plus mathématiques, sans aller jusqu’à dire « techniques », et en faisant allusion à d’autres exposés de ce jour là et du lendemain matin (pour des raisons de facilité de lecture, cela sera scindé en trois articles)

Pour les « working mathematicians » l’affaire est vite réglée : la théorie des catégories reprend et élargit la théorie des ensembles puisqu’un ensemble n’est qu’une catégorie où il n’y a pas de flèches entre les objets, qui sont les « éléments » de l’ensemble. Réciproquement un « élément » d’un objet O d’une catégorie est une flèche allant de l’objet terminal de la catégorie vers cet objet:

1 ————> O

Il faut donc qu’il y ait un objet terminal, ce qui est le cas dans toutes les catégories munies de « limites » et « colimites », en particulier les topoi.

Un topos notamment est une catégorie se comportant « de façon analogue » à la catégorie ENS des ensembles (où les ensembles sont les objets et les flèches sont les fonctions entre ensembles), catégorie qui est le premier exemple d’un topos.

Pour la plupart des « working mathematicians », notamment ceux qui travaillent dans la finance, l’affaire est encore plus vite réglée : ils font des « mathématiques réelles » , s’occupant notamment à résoudre des problèmes se posant aux ingénieurs ou aux traders, jamais de ces « mathématiques fondationnelles », les laissant aux logiciens, enseignants ou philosophes.

Pour ma part je me méfie énormément et même refuse le schéma simpliste qui pourrait résulter d’une compréhension hâtive des propos de Badiou, et que ses formulations tendraient à encourager: à savoir que la théorie des ensembles est l’ontologie, le discours sur l’être caractérisé par l’univocité, et que la théorie des catégories serait la « mise en équivoque de cette univocité par localisation ».

Ainsi sur un axe unique la théorie des ensembles serait du côté de l’Etre et de son univocité, du côté de Platon et de Parménide, la théorie des catégories du côté du monde (et du discours sur l’être du monde qui est la physique), de l’équivocité qui le caractérise , du côté d’Aristote et d’Héraclite. Mais la théorie des catégories est tout autant scientifique, mathématique, que celle des ensembles, et si la Science est bien (formule admirable de Badiou) une extorsion d’un noyau d’univocité à l’équivocité du monde, on ne voit pas pourquoi la théorie des catégories serait du côté de l’équivocité.

D’ailleurs Badiou reconnaît que la théorie des ensembles se ramène à une et une seule relation : la relation d’appartenance d’un élément à un ensemble.

Donc la théorie des ensembles est tout aussi relationnelle que celle des catégories.

Si la notion de relation est prédominante c’est parce que la science est science des relations comme le dit Brunschvicg ainsi qu’Einstein ou récemment Michel Bitbol. Marie Anne Cochet parle de la physique comme dissolution des apparences de substances (d’objets) réelles en entités mathématiques : ainsi en mécanique quantique les espaces abstraits de Hilbert remplacent l’espace euclidien de Newton.

Mais la difficulté et l’obscurité vient de ce que Badiou passe continuellement et sans le dire d’un plan à un autre : que les relations mondaines, sociales, entre êtres humains soient caractérisées par l’équivocité et l’ambiguïté (comme le montre « La règle du jeu » de Jean Renoir) c’est un fait.

Par contre une relation en mathématiques est définie sans ambiguïté et de manière rigoureuse, et cette définition peut être de type ensembliste : une relation binaire définie sur un ensemble E est un ensemble de couples d’éléments de E, c’est à dire une partie du produit cartésien E x E.

L’exposé de Badiou : objet comme forme de l’être et relation comme forme de l’existence

Ce matin à 10 heures à l’ENS rue d’Ulm:

http://www.ens.fr/actualites/agenda/article/colloque-relation-objet

dans mon article précédent annonçant ce colloque j’en étais resté à l’opposition Platon-Aristote dans la distinction entre les deux types de mentalité que je caractérisais comme idéaliste-réaliste, ou comme axe entre science des relations et mathemata et métaphysique des logoi, mais ceci n’est qu’un des deux axes d’une croix (il faut toujours préférer la quaternité de la croix, ou le sénaire de la sphère, à la pure opposition binaire), le second axe opposant Parménide à Héraclite.

Or Badiou semble placer Parménide avec Platon, et Aristote avec Héraclite, il escamote donc la croix et l’aplatit sur un seul axe, et ceci ne va pas de soi, pour moi. D’autant plus que la théorie mathématique des catégories est placée plutôt du côté aristotélicien, heraclitéen, relativiste, naturaliste, celui de l’apparaître en un monde, du phénoménal, et la théorie des ensembles du côté de l’ontologie, discours sur l’être, c’est à dire pour un platonicien sur les Formes, les Idées : l’ontologie ne peut être que formelle, comme l’avait découvert Husserl, et l’ontologie c’est pour Badiou la mathématique, depuis « L’être et l’événement ».

Et il a une formule saisissante en convoquant devant un choix là encore binaire : si l’on refuse d’accepter que l’ontologie soit la mathématique, alors on doit accepter la thèse de Wittgenstein sur la mathématique comme jeu de langage, et dans ce cas il n’y a plus de science, car n’importe quel autre jeu de langage (comme le mythe) doit aussi être accepté comme égal à la science.

Ce qui est aussi la thèse du célèbre « Hamlet´s Mill » de Giorgio de Santillana, que l’on peut lire ici:

http://www.bibliotecapleyades.net/hamlets_mill/hamletmill.htm

c’est à dire un site consacré aux complots et autres illuminatis, pas précisément un site philosophique.

Il doit donc y avoir un autre choix, je le place du côté de l’Un et de l’hénologie, mais je ne dispose pas d’une formulation rationnelle qui aille plus loin que les premiers paragraphes de « L’être et l’événement » : la localisation errante de l’Un dans le « il y a de l’un » du compte-pour-un ensembliste.

Je dois reconnaître que les thèses de Badiou sont ici très fortes, servies par une maîtrise philosophique et mathématique impressionnantes, et ceci me gêne car Badiou se situe pour moi dans la complicité avec le Mal : marxisme, maoïsme, antisionisme, complaisance à l’égard de l’Islam. Par contre j’approuve évidemment son attitude vis à vis de l’Occident nihiliste (enténébré) et de la farce des droits de l’homme et de la pseudo-démocratie.

Et je dois avouer ici avec une grande honte qu’en 2003 j’étais partisan de l’intervention américaine en Irak. On en voit le résultat aujourd’hui.

Pour Badiou, comme pour Lavelle dans « De l’être » , le concept d’être est univoque, alors qu’au livre Gamma de la métaphysique Aristote affirme l’equivocité de l’être : « être se dit en plusieurs sens ». Deleuze, qui n’est pas platonicien, admet aussi l’univocité de l’être.

Badiou continue en remarquant que l’équivocité est la loi du « monde », c’est à dire des réseaux relationnels: il y a donc là encore deux pôles, le monde et l’être, et la libération vis à vis du monde par une vérité (« la vérité vous rendra libre » a dit quelqu’un d’autre que Badiou) passe toujours par un rapprochement du pôle « être » par un accroissement d’univocité, et un affranchissement de l’équivocité propre à la vie « du monde ».

Une vérité amené toujours de la violence, des bouleversements : rupture du train train quotidien du monde où chacun a sa « place » et ne doit pas en sortir.

Et il a une formule saisissante : la science est une extorsion d’univocité (c’est pour ça qu’elle est toujours mathématisée) , d’un noyau d’univocité dans l’équivocité propre au monde des opinions et à son relativisme: une Idée est chez Platon ce qu’il y a d’univoque dans l’exercice de la pensée.

Le trajet de Badiou se décrit en trois stades:

– univocité de l’être (ligne platonicienne rationaliste et mathématisante, par opposition au vitalisme de Bergson et Deleuze). Mais cette univocité est in objective, formelle, structurale. L’être est Forme, multiple sans qualité, l’ontologie discours sur l’être en tant qu’être est donc la mathématique des ensembles.

– s’introduit alors la différence des mondes, alors que la mathématique est pensée univoque des formes, la physique est pensée de l’être du monde. Il y a mise en équivocité de l’univocité par localisation, et ceci se fait dans la théorie des catégories, qui est en position dialectique avec celle des ensembles : chacune a besoin de l’autre

– un objet (de la théorie des catégories) est une forme multiple en tant qu’elle apparaît dans un monde, ou : un objet existe en tant qu’il fait exister une forme dans un monde.

La mathématisation est stigmate de l’être : d’où sa nécessité pour la science, libération qui signe un accès à la part d’être du monde

Colloque relation/objet 18 et 19 juin 2014 ENS Ulm

http://www.ens.fr/actualites/agenda/article/colloque-relation-objet

 

http://www.pensee-sciences.ens.fr/spip.php?article127

 

La théorie des catégories apparue en 1945 formalise évidemment ceci : les objets sont…les objets, et les morphismes sont les relations.

Et comme de juste pour une théorie scientifique, le rôle prépondérant appartient aux relations, les objets peuvent d’ailleurs être « identifiés » à leur morphisme identité qui de par les axiomes existent pour chaque objet.

http://s.dugowson.free.fr/enseignement/20111012categoriesMSSCI.pdf

http://www.jyb-logic.org/ens-cat.pdf

voici ce qu’en disait Badiou il y a 20 ans :

http://www.entretemps.asso.fr/Badiou/93-94.3.htm

 

Et Brunschvicg (qui n’a pas vécu assez longtemps pour voir apparaitre la théorie des catégories):

http://classiques.uqac.ca/classiques/brunschvicg_leon/progres_conscience_t1/progres_conscience_t1_intro.html

 

« Aussi bien, et l’on devra s’en laisser convaincre par les premiers chapitres de notre ouvrage, l’opposition décisive entre l’idéalisme mathématique de la République platonicienne et le réalisme astro-biologique de la Métaphysique aristotélicienne a défini le thème fondamental de l’Occident dans le domaine pratique comme dans le domaine théorique, indépendamment de toute référence au christianisme. Plusieurs siècles avant qu’il ait commencé d’exercer sa propagande, la polémique de l’Académie et du Lycée apporte le témoignage lumineux qu’il existe deux types radicalement distincts de structure mentale, commandés, l’un par les relations de la science (μαθήματα), l’autre par les concepts du discours (λόγοι). De là procède le problème religieux, tel qu’il se manifeste dans la  terminologie des Stoïciens avec la dualité du Verbe intérieur, ou raison : λόγος ἐνδιάθετος, et du Verbe extérieur, ou langage : λόγος προφορικός.  »

 

pour tout savoir sur la théorie des catégories, qui n’est donc autre que la théorie générale des théories scientifiques, commandée par le premier type, platonicien, idéaliste, de structure mentale (le deuxième type pouvant être nommé « aristotélicien », ou « thomiste », ou réaliste, ou ontologicien, etc…) un grand bouquin de plus de 500 pages :

« Abstract and concrete categories »

 

http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf

 

ou

 

https://archive.org/details/Jiri_Adamek_Horst_Herrlich_George_E_Strecker__Abstract_and_Concrete_Categories_The_Joy_of_Cats

 

ou

 

http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/17/tr17abs.html